Question

7．O为平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点．
（1）若$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定过△ABC的重心．
（2）若$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$），λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定过△ABC的内心．
（3）若$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$），λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定过△ABC的重心．
（4）若$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}$），λ∈[0，+∞），则P的轨迹一定过△ABC的垂心．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$可根据向量加法的平行四边形法则作出：可取BC边上的中点D，连接AD并延长到E，使得AD=DE，从而有$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$，根据条件便可得到$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AE}$，AE过△ABC的重心，从而得出P的轨迹过△ABC的重心；
（2）可分别作作$\overrightarrow{AD}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，并以AD，AE为邻边作?ADFE，从而可得到$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AF}$，而线段AF在∠BAC的平分线上，从而便得出P的轨迹过△ABC的内心；
（3）可作AD⊥BC，则可得到$\overrightarrow{AP}=\frac{λ}{|AD|}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，这样就和（1）一样了，从而轨迹也过重心；
（4）作AD⊥BC，求$\overrightarrow{BC}•\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}=-|\overrightarrow{BC}|$，而同样有$\overrightarrow{BC}•\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}=|\overrightarrow{BC}|$，这样即可得到$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AP}=0$，从而得出P的轨迹过△ABC的垂心．

解答 解：（1）如图，取BC中点D，连接AD并延长到E，使AD=DE，则$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}$；
∴由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$得：
$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AE}$，λ≥0；
∴$\overrightarrow{AP}$与$\overrightarrow{AE}$同向，∴P在射线AE上；
AE过△ABC的重心，∴P的轨迹一定过△ABC的重心；
（2）$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$表示和$\overrightarrow{AB}$方向相同的单位向量，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$表示和$\overrightarrow{AC}$方向相同的单位向量，如图所示：
作$\overrightarrow{AD}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\overrightarrow{AE}=\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，以AD，AE为邻边作?ADFE，则：
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AF}$；
∴由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}）$得：$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AF}$；
∵λ≥0；
∴P点在射线AF上，AF在∠BAC的平分线上；
∴P点的轨迹过△ABC的内心；
（3）如图，过A作AD⊥BC，则：
$|\overrightarrow{AB}|sinB=|\overrightarrow{AD}|，|\overrightarrow{AC}|sinC=|\overrightarrow{AD}|$；
∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AD}|}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AD}|}）$；
∴$\overrightarrow{AP}=\frac{λ}{|\overrightarrow{AD}|}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
这样就变成了（1）；
∴P点的轨迹一定过△ABC的重心；
（4）如图，作AD⊥BC，垂足为D，则：
$\overrightarrow{BC}•\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}=\frac{|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AB}|cos（π-B）}{|\overrightarrow{AB}|cosB}$=$-|\overrightarrow{BC}|$；
同理$\overrightarrow{BC}•\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}=|\overrightarrow{BC}|$；
∴由$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$得：
$\overrightarrow{AP}=λ（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|cosB}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|cosC}）$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}=λ（-|\overrightarrow{BC}|+|\overrightarrow{BC}|）=0$；
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$；
∴P点在射线AD上，AD为△ABC的高线；
∴P的轨迹一定过△ABC的垂心．
故答案为：重心，内心，重心，垂心．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，三角形重心、内心，及垂心的定义，单位向量的定义，正弦函数的定义，以及数量积的计算公式，向量垂直的充要条件．