Question

12．求下列函数的值域：
（1）y=$\frac{2x+1}{x-3}$；                
（2）y=x²-4x+6，x∈[1，5）；
（3）y=$\frac{5{x}^{2}+8x+5}{{x}^{2}+1}$；              
（4）y=2x-$\sqrt{x-1}$．

Answer 1

分析 （1）分离常数，得到y=$2+\frac{7}{x-3}$，根据$\frac{7}{x-3}≠0$便可得出该函数的值域；
（2）配方y=（x-2）²+2，可设y=f（x），显然f（2）是最小值，f（5）＞f（1），这样便可得出原函数的值域；
（3）可以想着分子、分母同除以x，这样便要讨论x是否为0：x=0时，求出y=5，x≠0时，原函数可变成$y=5+\frac{8}{x+\frac{1}{x}}$，这样根据基本不等式可求出$x+\frac{1}{x}$的范围，从而求出$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$的范围，这样即可得出原函数的值域；
（4）原函数可变成y=$2（\sqrt{x-1}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}$，而$\sqrt{x-1}≥0$，这样便能得出该函数的值域．

解答 解：（1）$y=\frac{2x+1}{x-3}=\frac{2（x-3）+7}{x-3}=2+\frac{7}{x-3}$；
$\frac{7}{x-3}≠0$；
∴y≠2；
∴该函数的值域为{y|y≠2}；
（2）y=x²-4x+6=（x-2）²+2≥2；
设y=f（x），则f（5）＞f（1），f（5）=11；
∴该函数的值域为[2，11）；
（3）①x=0时，y=5；
②x≠0时，$y=\frac{5{x}^{2}+8x+5}{{x}^{2}+1}=\frac{5（x+\frac{1}{x}）+8}{x+\frac{1}{x}}=5+\frac{8}{x+\frac{1}{x}}$；
1）若x＞0，$x+\frac{1}{x}≥2$；
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{1}{x}}≤\frac{1}{2}$；
∴5＜y≤9；
2）若x＜0，$x+\frac{1}{x}=-[（-x）+\frac{1}{-x}]≤-2$；
∴$-\frac{1}{2}≤\frac{1}{x+\frac{1}{x}}＜0$；
∴1≤y＜5；
∴综上得原函数的值域为[1，9]；
（4）$y=2x-\sqrt{x-1}=2（x-1）-\sqrt{x-1}+2$=$2（\sqrt{x-1}）^{2}-\sqrt{x-1}+2$=$2（\sqrt{x-1}-\frac{1}{4}）+\frac{15}{8}$；
$\sqrt{x-1}≥0$；
∴$y≥\frac{15}{8}$；
∴该函数的值域为$[\frac{15}{8}，+∞）$．

点评 考查函数值域的概念，分离常数法求函数的值域，配方法求二次函数的值域，以及基本不等式的运用，注意基本不等式使用的条件．