Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，?n≥2，3S_n-4、2a_n、2-S_n-1总成等差数列．
（1）求S_n；
（2）对任意k∈N^*，将数列{a_n}的项落入区间（3^k，3^2k）内的个数记为b_k，求b_k．

Answer 1

（1）?n≥2，3S_n-4、2a_n、2-S_n-1总成等差数列，
所以，2×2a_n=（3S_n-4）+（2-S_n-1）…（1分）
因为a_n=S_n-S_n-1（n≥2），所以4（S_n-S_n-1）=（3S_n-4）+（2-S_n-1），
即S_n=3S_n-1-2…（3分）
又因为a₁=2，S_n-1-1≠0，

Sn-1

Sn-1-1

=

3Sn-1-2-1

Sn-1-1

=3，S₁-1=1，
所以数列{S_n-1}是首项等于1，公比q=3的等比数列…（6分）
Sn-1=1×3n-1，即Sn=1+3n-1…（7分）
（2）由（1）得?n≥2，an=Sn-Sn-1=(1+3n-1)-(1+3n-2)=2×3n-2…（8分）
n=1时，2×3^n-2=2×1=2=a₁，所以，任意n∈N^*，an=2×3n-2…（9分）
任意k∈N^*，由3k＜an＜32k，即3^k＜2×3^n-2＜3^2k…（11分），
（k＜log₃2+（n-2）＜2k，k+2-log₃2＜n＜2k+2-log₃2…（12分）
因为0＜log₃2＜1，所以“若学生直接列举，省略括号内这一段解释亦可”）
n可取k+2、k+3、…、2k+1…（13分），
所以b_k=k…（14分）