Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若，讨论的单调性；

（Ⅱ）若函数的图象上存在不同的两点，使得直线的斜率成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时， 的减区间是，无增区间，当时， 的增区间是，减区间是，当时， 的增区间是，减区间是.

（Ⅱ）。

【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数，再对参数进行分类讨论，分别确定其单调性并求出其单调区间，（Ⅱ）先运用斜率公式将不等式等价转化为，进而转化为不等式恒成立，然后构造函数，借助导数及其单调性建立不等式进行求解：

解：（Ⅰ） 的定义域为，当时，

，

（ⅰ）若，即时， 恒成立， 在上是减函数；

（ⅱ）若，即时， 时， 是增函数，

时， ， 是减函数，

时， ， 是减函数；

（ⅲ）若，即， 时， ， 是增函数，

时， ， 是减函数，

时， ， 是减函数；

综上可得，当时， 的减区间是，无增区间，

当时， 的增区间是，减区间是，

当时， 的增区间是，减区间是.

（Ⅱ）假设的图象上不存在两点，使得直线的斜率成立，

则对的图象上任意两点，都有成立，

即恒成立，即恒成立，

因为，所以，

所以是减函数， 恒成立，

因为，所以恒成立，

因为，所以.

即若对的图象上任意两点，都有成立，则，

所以若的图象上不存在两点，使得直线的斜率成立，

则 ，即实数的取值范围是.