Question

已知函数：(a为常数)． (1) 当f(x)的定义域为[a＋，a＋1]时，求函数f(x)的值域 (2) 试问：是否存在常数m使得f(x)＋f(m－x)＋2＝0对定义域内的所有x都成立；若有求出m，若没有请说明理由． (3) 如果一个函数的定义域与值域相等，那么称这个函数为“自对应函数”．若函数f(x)在[s，t](a＜s＜t)上为“自对应函数”时，求实数a的范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解法一：……………………………2分 当，， ，， ∴．………………………………………4分 即．……………………………………………5分 　　解法二： 在[a＋，a＋1]上为增函数．………2分 ∴……………………………………4分 ………………………………………………5分
(2)	解法一：假设存在m使得f(x)＋f(m－x)＋2＝0成立 则－1＋………7分 ＝＝0恒成立……………………………………8分 ∴m＝2a ∴存在常数m＝2a满足题意……………………………………10分 　　解法二：因为函数图象的对称中心为(0，0)，函数的图象由的图象按向量平移得到．…………………………………6分 所以函数的对称中心为(a，－1)…………7分 则有得：………………………………8分 所以 ………………………………………………9分 存在常数满足题意……………………………………………10分
(3)	因为函数f(x)在上为增函数，又 ∴f(x)在上为增函数，f(x)的值域为 ∴又函数f(x)在上为“自对应函数”， ＝…………………………………………………………11分 所以……………………………………………………………12分 所以：f(x)＝x有两个大于a的相异实根 即：有两个大于a的相异实根………………………13分 所以　　　　(1) 　　　　(2) 　　　　(3)………………………………………15分 解得：…………………………………………………………………16分