Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{4}{3}$，a_n+1=$\frac{8}{6-{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（1）设b_n=$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$，求证{b_n}为等比数列，求此通项b_n；
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，求满足$\frac{65}{64}$＜$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜$\frac{9}{8}$的所有n的值．

Answer 1

分析 （1）把条件代入b_n=$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$求出b₁，化简b_n+1÷b_n，由等比数列的定义证明{b_n}为等比数列，由等比数列的通项公式求出b_n；
（2）由等比数列的前n项和公式求出S_n，代入$\frac{65}{64}$＜$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜$\frac{9}{8}$化简求出n的范围和所有n的值．

解答 证明：（1）∵a₁=$\frac{4}{3}$，a_n+1=$\frac{8}{6-{a}_{n}}$（n∈N^*），∴b₁=$\frac{{a}_{1}-2}{{a}_{1}-4}$=$\frac{1}{4}$，
且b_n+1÷b_n=$\frac{{a}_{n+1}-2}{{a}_{n+1}-4}$÷$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$=$\frac{\frac{8}{6-{a}_{n}}-2}{\frac{8}{6-{a}_{n}}-4}$÷$\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$=$\frac{{-2+a}_{n}}{{-8+2a}_{n}}÷\frac{{a}_{n}-2}{{a}_{n}-4}$
=$\frac{{-2+a}_{n}}{{2（-4+a}_{n}）}×\frac{{a}_{n}-4}{{a}_{n}-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}是以$\frac{1}{4}$为首项、以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
则b_n=$\frac{1}{4}$•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$；
解：（2）由（1）得，S_n=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）$，∴$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{2n}}）}{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}$=$1+\frac{1}{{2}^{n}}$，
代入$\frac{65}{64}$＜$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$＜$\frac{9}{8}$得，$\frac{65}{64}$＜$1+\frac{1}{{2}^{n}}$＜$\frac{9}{8}$，则8＜2ⁿ＜64
解得，3＜n＜6，
∴满足条件n的值是4、5．

点评 本题考查等比数列的定义、通项公式和前n项和公式，考查化简、变形能力，属于中档题．