Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）设函数，讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）当时，有0个零点；当或时，有1个零点；当时，有2个零点.

【解析】

（1）令求导，令，求出的值，进而求出单调区间，极小值，求出最小值；

（2）求，求出单调区间和极值，得出，等价转化为，转化为求直线与函数的图像交点个数，通过求导数的方法，研究函数的单调区间，极值和图像变化趋势，即可求解.

解：（1）令

，

令，，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是，

所以时，取得极小值，也是最小值，

所以；

（2），令，

的递减区间是，递增区间是，

所以的极小值为，也是最小值，.

所以，

因为，

令，

令，

的递减区间是，递增区间是，

所以的极小值为，也是最小值，

所以，

所以的递减区间是，递增区间是，

又因为，且，

所以，当时，有0个零点；

当或时，有1个零点；

当时，有2个零点.