Question

(22)已知b＞－1,c＞0,函数f(x)=x+b的图象与函数g(x)=x²+bx+c的图象相切.

(Ⅰ)求b与c的关系式(用c表示b);

(Ⅱ)设函数F(x)=f(x)g(x)在(－∞,+∞)内有极值点,求c的取值范围.

 

Answer 1

(22)本小题考查导数、切线、极值等知识及综合运用数学知识解决问题的能力.

解：(Ⅰ)依题意,令f′(x)=g′(x),得2x+b=1,故x=.

由于f()=g(),得(b+1)²=4c.

∵b＞－1,c＞0,∴b=－1+2.

(Ⅱ)F(x)=f(x)g(x)=x³+2bx²+(b²+c)x+bc.

∴F′(x)=3x²+4bx+b²+c.

令F′(x)=0,即3x²+4bx+b²+c=0.

则Δ=16b²－12(b²+c)=4(b²－3c).

若Δ=0,则F′(x)=0有一个实根x₀,且F′(x)的变化如下:

x	(－∞,x0)	x0	(x0,+∞)
F′(x)	+	0	+

于是x=x₀不是函数F(x)的极值点.

若Δ>0,则F′(x)=0有两个不相等的实根x₁,x₂(x₁＜x₂),且F′(x)的变化如下:

x	(－∞,x1)	x1	(x1,x2)	x2	(x2+∞)
F′(x)	+	0	－	0	+

由此,x=x₁是函数F(x)的极大值点,x=x₂是函数F(x)的极小值点.

综上所述,当且仅当Δ＞0时,函数F(x)在(－∞,+∞)上有极值点.

由Δ=4(b²－3c)＞0得b＜－c或b＞.

∵b=－1+2,∴－1+2＜－c或－1+2c＞.

解之得0＜c＜7－4或c＞7+4.

故所求c的取值范围是(0,7－4)∪(7+4,+∞).