Question

17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=[cosA-cos（π-B）]sinC．
（1）判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由；
（2）若a+b+c=1+$\sqrt{2}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据sinA+sinB=[cosA-cos（π-B）]sinC，由正、余弦定理，得a+b=（$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ca}$）c，化简即可得出结论；
（2）1+$\sqrt{2}$=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$，由此可求△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）因为sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，由正、余弦定理，得
a+b=（$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ca}$）c  …（2分）
化简整理得（a+b）（a²+b²）=（a+b）c²
因为a+b＞0，所以a²+b²=c²  …（4分）
故△ABC为直角三角形．且∠C=90°  …（6分）
（2）因为a+b+c=1+$\sqrt{2}$，a²+b²=c²，所以1+$\sqrt{2}$=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$
=（2+$\sqrt{2}$）•$\sqrt{ab}$ 当且仅当a=b时，上式等号成立   所以$\sqrt{ab}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（8分）
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{2}$×$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
即△ABC面积的最大值为$\frac{1}{4}$．…（12分）

点评 本题考查三角形形状的判定，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查正、余弦定理，属于中档题．