Question

3．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．

Answer 1

分析 根据题意可设抛物线的方程为：y²=-2px，利用抛物线的定义求得p的值，得到抛物线的方程，代入M的坐标，即可求出m； 由抛物线的标准方程，即可得到抛物线的焦点坐标和准线方程．

解答 解：由题意可设抛物线方程：y²=-2px，
焦点坐标为（-$\frac{p}{2}$，0），准线为：x=$\frac{p}{2}$，
∵抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离是5．
由抛物线的定义可得，$\frac{p}{2}$+3=5
解得p=4，
即有抛物线方程为y²=-8x，
代入抛物线上一点M（-3，m），得m²=24，解得m=±2$\sqrt{6}$．
抛物线方程为y²=-8x，焦点坐标为（-2，0），准线为：x=2．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查待定系数法，突出考查抛物线的定义的理解与应用，求得p的值是关键，属于中档题．