Question

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=

3

，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

Answer 1

考点：圆的切线的性质定理的证明

专题：立体几何

分析：（I）如图所示，连接DE．由于DB垂直BE交圆于点D，可得∠DBE=90°．即DE为圆的直径．由于∠ABC的角平分线BE交圆于点E，利用同圆中的弧圆周角弦之间的关系可得∠DCB=∠DBC，DB=DC．
（II）由（I）利用垂径定理及其推论可得：DE⊥BC，且平分BC，设中点为M，外接圆的圆心为点O．连接OB，OC，可得OB⊥AB．在Rt△BOM中，可得∠OBM=30°，∠BOE=60°．进而得到∠CBA=60°．∠BCE=30°，∠BFC=90°．即可得到△BCF外接圆的半径=

1

2

BC．

解答： （I）证明：如图所示，连接DE．
∵DB垂直BE交圆于点D，∴∠DBE=90°．
∴DE为圆的直径．
∵∠ABC的角平分线BE交圆于点E，
∴

BE

=

CE

，
∴

DB

=

DC

，
∴∠DCB=∠DBC，
∴DB=DC．
（II）解：由（I）可知：DE⊥BC，且平分BC，设中点为M，外接圆的圆心为点O．
连接OB，OC，则OB⊥AB．
在Rt△BOM中，OB=1，BM=

1

2

BC=

3

2

．
∴∠OBM=30°，∠BOE=60°．
∴∠CBA=60°．
∴∠BCE=

1

2

∠BOE=30°．
∴∠BFC=90°．
∴△BCF外接圆的半径=

1

2

BC=

3

2

．

点评：本题综合考查了圆的切线的性质、同圆中的弧圆周角弦之间的关系、垂径定理及其推论、直角三角形外接圆的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．