Question

已知不等式

a

x-2

＞1-a
（1）若a=x，求关于x不等式的解集；   
（2）若a≠1，求关于x不等式的解集．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）若a=x，根据分式不等式的解法，即可求关于x不等式的解集；   
（2）若a≠1，讨论a的取值范围，即可求关于x不等式的解集．

解答： 解：（1）a=x，则

x

x-2

＞1-x，移项通分

x-(x-2)(1-x)

x-2

=

x2-2x+2

x-2

＞0，
由x²-2x+2=（x-1）²+1＞0，
得x＞2 故不等式的解集为{x|x＞2}．
（2）已知a≠1，则

a

x-2

＞1-a?

(a-1)x-(a-2)

x-2

＞0，
①a＞1 时，可转化为(x-2)(x-

a-2

a-1

)＞0?(x-2)[x-(1-

1

a-1

)]＞0，
此时1-

1

a-1

＜2，不等式的解集为{x|x2} 
②a＜1 时，可转化为(x-2)[x-(1-

1

a-1

)]2，
即0＜a＜1 时，不等式的解集为{x|2＜x＜1-

1

1-a

}
ii）当1-

1

a-1

=2，即a=0 时，不等式的解集为∅
iii）当1-

1

a-1

＜2，即a＜0 时，不等式的解集为{x|1-

1

1-a

＜x＜2}
当0＜a＜1 时，解集为 {x|2＜x＜1-

1

1-a

}，
当a=0 时，不等式的解集为∅，
当a＜0 时，不等式的解集为{x|1-

1

1-a

＜x＜2}．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，利用分类讨论是解决本题的关键．