Question

【题目】定于符号函数，已知，，

（1）求关于的表达式，并求的最小值；

（2）当时，函数在上有唯一零点，求的取值范围；

（3）已知存在，使得对任意恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据已知求出，分析其单调性可得函数的最小值；

（2）当时，，由得：，即，令，，在同一坐标系中分别作出两个函数在上的图象，数形结合可得答案；

（3）若存在，使得对任意的，恒成立，则对任意的，恒成立，分类讨论可得答案．

（1）函数，．

，，

，

由在，上为减函数，在上为增函数，

故当时，的最小值为；

（2）当时，函数，

当时，，

由得：，即，

令，，

在同一坐标系中分别作出两个函数在上的图象，如下图所示：

由图可得：当时，两个函数图象有且只有一个交点，

即函数在上有唯一零点；

（3），时，，

由得：，

，且对任意的，恒成立，

即对任意的，恒成立，

在，上单调递增，故当时，取最大值，

，，的最小值为，

①，解得：；

②，解得：，；

③解得：，

综上可得：．