【题目】(江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题)已知函数f(x)=lnx-ax+a,a∈R.
(1)若a=1,求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)有两个零点,求a的范围;
(3)对于曲线y=f(x)上的两个不同的点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),记直线PQ的斜率为k,若y=f(x)的导函数为f ′(x),证明:f ′()<k.
【答案】(1)见解析(2)(3)见解析
【解析】分析:(1)求极值可先求导分析函数的单调区间从而确定极值点求极值;(2)由(1)可知当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调增,不可能有两个零点;故只需讨论当a>0时的零点情况,当a>0时,函数有极大值, 令
(x>0),求导分析单调性结合零点定理进行证明即可;(3)由斜率计算公式得
,而
,将
看成一个整体构造函数
(
),分析其最大值即可.
解:(1),
,
当时,
,
在
上单调递增,无极值;
当时,
,
在
上单调递增;
,
在
上单调递减,
函数有极大值,无极小值.
(2)由(span>1)可知当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调增,不可能有两个零点;
当a>0时,函数有极大值,
令(x>0),
,
,
,
在(0,1)上单调递减;
,
,
在(1,+∞)上单调递增,
函数有最小值
.
要使若函数有两个零点时,必须满足
,
下面证明时,函数有两个零点.
因为,
所以下面证明还有另一个零点.
①当时,
,
,
令(
),
,
在
上单调递减,
,则
,
所以在
上有零点,又
在
上单调递减,
所以在
上有惟一零点,从而
有两个零点.
②当时,
,
,
易证,可得
,
所以在
上有零点,又
在
上单调递减,
所以在
上有惟一零点,从而
有两个零点.
综上,的范围是
.
(3)证明:,
,
又,
,
不妨设0<x2<x1, t=,则t>1,
则.
令(
),
则,
因此h(t)在(1,+∞)上单调递减,所以h(t)<h(1)=0.
又0<x2<x1,所以x1-x2>0,
所以f ′()-k<0,即f ′(
)<k.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表:
商店名称 | |||||
销售额 | 3 | 5 | 6 | 7 | 9 |
利润额 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 |
(1)画出销售额和利润额的散点图;
(2)若销售额和利润额具有相关关系,用最小二乘法计算利润额对销售额
的回归直线方程;
(3)据(2)的结果估计当销售额为4千万元时的利润额.
(附:线性回归方程:,
,
,)
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某舆情机构为了解人们对某事件的关注度,随机抽取了人进行调查,其中女性中对该事件关注的占
,而男性有
人表示对该事件没有关注.
关注 | 没关注 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
(1)根据以上数据补全列联表;
(2)能否有的把握认为“对事件是否关注与性别有关”?
(3)已知在被调查的女性中有名大学生,这其中有
名对此事关注.现在从这
名女大学生中随机抽取
人,求至少有
人对此事关注的概率.
附表:
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,摩天轮的半径为,
点距地面的高度为
,摩天轮按逆时针方向作匀速运动,且每
转一圈,摩天轮上点
的起始位置在最高点.
(1)试确定点距离地面的高度
(单位:
)关于旋转时间
(单位:
)的函数关系式;
(2)在摩天轮转动一圈内,有多长时间点距离地面超过
?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数
(1)当时,求满足
的
的取值:
(2)若函数是定义在
上的奇函数
①存在,不等式
有解,求
的取值范围;
②若函数满足
,若对任意
,不等式
恒成立,求实数
的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】己知 ,
,且函数
的图像上的任意两条对称轴之间的距离的最小值是
.
(1)求的值:
(2)将函数的图像向右平移
单位后,得到函数
的图像,求函数
在
上的最值,并求取得最值时的
的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,以坐标原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.己知
点的极坐标为
,曲线
的极坐标方程为
,曲线
的参数方程为,
(
为参数).曲线
和曲线
相交于
两点.
(1)求点的直角坐标;
(2)求曲线的直角坐标方程和曲线
的普通方程;
(3)求的面枳
,
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1.
(1)求证:2a+b=2;
(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com