Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=kS_n+2，又a₁=2，a₂=1．
（1）求k的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求S_n．

Answer 1

分析：（1）要求k的值，考虑S₁=a₁，S₂=a₁+a₂，利用特殊值法；
（2）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）解决；
（3）明确数列特征，选用对应公式或方法．

解答：（1）∵S₂=kS₁+2，∴a₁+a₂=ka₁+2，
又a₁=2，a₂=1，2+1=2k+2，∴k=

1

2

；
（2）由（1）Sn+1=

1

2

Sn+2 ①，当n≥2时，Sn=

1

2

Sn-1+2②
①-②，an+1=

1

2

an，
又a2=

1

2

a1(∵an≠0，n∈N+)，∴

an+1

an

=

1

2

(n∈N+)
∴{a_n}是等比数列，公比为

1

2

，∴an=2×(

1

2

)n-1=

1

2n-2

；
(3)Sn=

2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4-4(

1

2

)n

点评：本题考查了数列的通项与求和知识，要注意运用an=

a1(n=1) Sn-Sn-1(n≥2)

的关系．