Question

设数列{a_n}的前n项和S_n=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常数且b≠0.

(1)证明:{a_n}是等差数列.

(2)证明:以(a_n,－1)为坐标的点P_n(n=1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程.

(3)设a=1,b=,C是以(r,r)为圆心，r为半径的圆(r＞0)，求使得点P₁、P₂、P₃都落在圆C外时，r的取值范围.

Answer 1

(1)证明略 (2)证明略(3)r的取值范围是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞)

解析:

  由条件，得a₁=S₁=a,当n≥2时，

有a_n=S_n－S_n－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b.

因此，当n≥2时，有a_n－a_n－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b.

所以{a_n}是以a为首项，2b为公差的等差数列.

(2)证明:∵b≠0,对于n≥2,有

∴所有的点P_n(a_n,－1)(n=1,2,…)都落在通过P₁(a,a－1)且以为斜率的直线上。  此直线方程为y－(a－1)=  (x－a),即x－2y+a－2=0.

(3)解: 当a=1,b=时，P_n的坐标为(n,),使P₁(1,0)、P₂(2, )、P₃(3,1)都落在圆C外的条件是

                    

由不等式①,得r≠1

由不等式②，得r＜－或r＞+

由不等式③，得r＜4－或r＞4+

再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+

故使P₁、P₂、P₃都落在圆C外时，r的取值范围是(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞).