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已知正方形ABCD的边长为2,点P为对角线AC上一点,则(
.
AP
+
.
BD
)•(
.
PB
+
.
PD
)的最大值为
 
分析:由已知中正方形ABCD的边长为2,我们可以建立直角坐标系,选求出各点坐标,设出动点P的坐标,再求出各向量的坐标,得到(
.
AP
+
.
BD
).(
.
PB
+
.
PD
)表达式,进而得到最大值.
解答:解:以A为坐标原点,以AB为X轴正方向,
以AD为Y轴正方向建立直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),
∵P点有对角线AC上,设P(x,x),0<x<2
所以
.
AP
=(x,x),
.
BD
=(-2,2),
.
PB
=(2-x,-x),
.
PD
=(-x,2-x)
.
AP
+
.
BD
)•(
.
PB
+
.
PD

=4x-4x2=-4(x-
1
2
2+1
当x=
1
2
时,有最大值为1
故答案为:1
点评:本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,其中建立坐标系,引入各向量的坐标,是解答问题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正方形ABCD的边长为2,中心为O,四边形PACE是直角梯形,设PA⊥平面ABCD,且PA=2,CE=1,
(1)求证:面PAD∥面BCE.
(2)求PO与平面PAD所成角的正弦.
(3)求二面角P-EB-C的正切值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知正方形ABCD的中心为E(-1,0),一边AB所在的直线方程为x+3y-5=0,求其它三边所在的直线方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正方形ABCD的边长是4,对角线AC与BD交于O,将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角,并给出下面结论:①AC⊥BD;②AD⊥CO;③△AOC为正三角形;④cos∠ADC=
3
4
,则其中的真命题是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正方形ABCD的边长为1,设
AB
=
a
BC
=
b
AC
=
c
,则|
a
-
b
+
c
|等于(  )
A、0
B、
2
C、2
D、2
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知正方形ABCD的边长为
2
AB
=
a
BC
=
b
AC
=
c
,则|
a
+
b
+
c
|
=
4
4

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