Question

10．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴为正半轴为极轴建立极坐标系，圆C和直线l的极坐标方程分别为ρ=2cosθ，$\sqrt{5}$ρcos（θ+α）=2（其中tanα=2，α∈（0，$\frac{π}{2}$））．
（Ⅰ）求圆C和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C和直线l相交于点A和点B，求以AB为直径的圆D的参数方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接把极坐标方程转换成直角坐标该方程．
（Ⅱ）首先建立方程组求出交点的坐标，进一步利用直径所对的圆周角为90°，进一步转化成向量垂直，再利用向量垂直的充要条件求出方程，再转化成参数方程．

解答 解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程分别为ρ=2cosθ，
转化成直角坐标方程为：（x-1）²+y²=1，
由于：tanα=2，α∈（0，$\frac{π}{2}$）．
则：$cosα=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$sinα=\frac{2\sqrt{5}}{5}$
极坐标方程$\sqrt{5}$ρcos（θ+α）=2转化成直角坐标方程为：x-2y-2=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）}^{2}+{y}^{2}=1\\ x-2y-2=0\end{array}\right.$
解得：A（2，0），B（$\frac{2}{5}$，$-\frac{4}{5}$），
则：$\overrightarrow{AM}=（x-2，y）$，$\overrightarrow{BM}=（x-\frac{2}{5}，y+\frac{4}{5}）$
设点M（x，y）是圆D上的任意一点，则：$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}=0$．
所以：$（x-2）（x-\frac{2}{5}）$+$y（y+\frac{4}{5}）=0$．
整理得：5x²+5y²-12x+4y=0．
转化成标准形式为：$（x-\frac{6}{5}）^{2}+（y+\frac{2}{5}）^{2}=\frac{4}{5}$
转化成参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{6}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}cosθ\\ y=-\frac{2}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）．

点评 本题考查的知识要点：直角坐标方程与极坐标方程的互化，直角坐标方程与参数方程的互化，向量垂直的充要条件及相关的运算．