Question

5．如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P是边BD上任一点（包括点B、D），则|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}$|的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据题意，将|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}$|写成$\sqrt{（x-\frac{32}{5}）^{2}+64-（\frac{32}{5}）^{2}}$，其中x=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{BP}}\end{array}|$且x∈[0，5]，再由二次函数的性质即可得结论．

解答 解：根据题意，可得|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{{|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}}\end{array}|}^{2}}$
=$\sqrt{（2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}）^{2}}$
=$\sqrt{4{\overrightarrow{AB}}^{2}+4\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BP}+{\overrightarrow{BP}}^{2}}$
又矩形ABCD中，AB=4，AD=3，
设$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{BP}}\end{array}|$=x，则x∈[0，5]，
从而上式为$\sqrt{{x}^{2}-\frac{64}{5}x+64}$
=$\sqrt{（x-\frac{32}{5}）^{2}+64-（\frac{32}{5}）^{2}}$，
显然当x=5时，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AP}$|取最小值为$\sqrt{（5-\frac{32}{5}）^{2}+64-（\frac{32}{5}）^{2}}$=5，
故选：C．

点评 本题考查平面向量模的最小值，将问题转化为二次函数问题是关键，属中档题．