Question

【题目】设函数， 的图象在点处的切线与直线平行.

（1）求的值；

（2）若函数（），且在区间上是单调函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：(1) 根据切线的斜率，求出b的值即可;

（2）求出的导数， 在上为单调递减函数，等价于在上恒成立，即在上恒成立，构造求最值即可.

试题解析：(1)由题意知，曲线在点处的切线斜率为3，所以，又，即，所以. (2)由（1）知，所以，若在上为单调递减函数，则在上恒成立， 即，所以. 令， 则，由，得， ，得，故在上是减函数，在上是增函数，则， 无最大值，在上不恒成立，故在不可能是单调减函数. 若在上为单调递增函数，则在上恒成立，即，所以，由前面推理知， 的最小值为， ∴，故的取值范围是.

点晴:本题主要考查用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题. 在上为单调递减函数，等价于在上恒成立，通过变量分离可转化为在上恒成立，先构造即可.