Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 若4Sn=（2n﹣1）an+1+1，且a1=1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设cn= ，数列{cn}的前n项和为Tn ．
①求Tn；
②对于任意的n∈N*及x∈R，不等式kx2﹣6kx+k+7+3Tn＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵4Sn=（2n﹣1）an+1+1，

∴4Sn﹣1=（2n﹣3）an+1，n≥2

∴4an=（2n﹣1）an+1﹣（2n﹣3）an，

整理得（2n+1）an=（2n﹣1）an+1，

即 = ，

∴ =3， = ，…， =

以上各式相乘得 =2n﹣1，又a1=1，

所以an=2n﹣1，

（2）解：①∵cn= = = （ ﹣ ），

∴Tn= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）= （1﹣ ）= ，

②由①可知Tn= ，

∴ ≥ ，

∵kx2﹣6kx+k+7+3Tn＞0恒成立，

∴kx2﹣6kx+k+8＞0恒成立，

当k=0时，8＞0恒成立，

当k≠0时，则得 ，解得0＜k＜1，

综上所述实数k的取值范围为[0，1）

【解析】（1）充分利用已知4Sn=（2n﹣1）an+1+1，将式子中n换成n﹣1，然后相减得到an与an+1的关系，利用累乘法得到数列的通项，（2）①利用裂项求和，即可求出Tn ，
②根据函数的思想求出 ≥ ，问题转化为kx2﹣6kx+k+8＞0恒成立，分类讨论即可．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．