【题目】某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是89.
(1)求和
的值;
(2)计算乙班7位学生成绩的方差.
(3)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求乙班至少有一名学生的概率.
【答案】(1)x=5,y=3;(2)40;(3)
【解析】试题分析:(1)根据平均数计算公式可求,中位数是指将一组数据按照从小到大或者从大到小的顺序排成一列,如果是奇数个数,中位数是最中间的数;如果是偶数个数,中位数是最中间两个数的平均数,由题知
;(2)甲班七名学生成绩已知,代入方差计算公式即可;(3)记事件
=“从中抽取两名学生,甲班至少有一名学生”,把成绩在90分以上的学生编号,列出从中抽取两名学生的基本事件总数以及事件
包含的基本事件总数,代入古典概型的概率计算公式可求;至少、至多问题的概率还可以根据对立事件的概率来求,即
.
试题解析:(1)由=85,得
,所以
=5,将数字按照从小到大的顺序排列,第四个数字是中位数,所以
;
(2)=40;
(3)成绩在90分以上的学生共有5名,其中甲班有两名,记为a,b,乙班3名,记为1,2,3,从中任取两名,基本事件为有,
,
,
,共10个,记事件
=“从中抽取两名学生,甲班至少有一名学生”,则事件
包含的基本事件有
,
,
,共7个,所以
.
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【题目】设函数
(1)若不等式对
恒成立,求
的值;
(2)若在
内有两个极值点,求负数
的取值范围;
(3)已知,若对任意实数
,总存在实数
,使得
成立,求正实数
的取值集合.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=2n﹣1.数列{bn}满足b1=2,bn+1﹣2bn=8an .
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)证明:数列{ }为等差数列,并求{bn}的通项公式.
(3)求{bn}的前n项和Tn .
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【题目】某家父母记录了女儿玥玥的年龄(岁)和身高(单位cm)的数据如下:
年龄x | 6 | 7 | 8 | 9 |
身高y | 118 | 126 | 136 | 144 |
(1)试求y关于x的线性回归方程 =
x+
(2)试预测玥玥10岁时的身高.(其中, =
,
=
﹣
.
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【题目】已知函数{an}:a1=t,n2Sn+1=n2(Sn+an)+an2 , n=1,2,….
(1)设{an}为等差数列,且前两项和S2=3,求t的值;
(2)若t= ,证明:
≤an<1.
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【题目】如图,在棱长为2的正方体中,
,
,
,
分别是棱
,
,
,
的中点,点
,
分别在棱
,
上移动,且
.
(1)当时,证明:直线
平面
;
(2)是否存在,使面
与面
所成的二面角为直二面角?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)= (k>0).
(1)若f(x)>m的解集为{x|x<﹣3或x>﹣2},求不等式5mx2+ x+3>0的解集;
(2)若存在x>3使得f(x)>1成立,求k的取值范围.
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【题目】为了普及环保知识,增强环保意识,某校从理科甲班抽取60人,从文科乙班抽取50人参加环保知识测试.
优秀人数 | 非优秀人数 | 总计 | |
甲班 | |||
乙班 | 30 | ||
总计 | 60 |
(Ⅰ)根据题目完成列联表,并据此判断是否有
的把握认为环保知识成绩优秀与学生的文理分类有关.
(Ⅱ)现已知,
,
三人获得优秀的概率分别为
,
,
,设随机变量
表示
,
,
三人中获得优秀的人数,求
的分布列及期望
.
附: ,
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 若4Sn=(2n﹣1)an+1+1,且a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn= ,数列{cn}的前n项和为Tn .
①求Tn;
②对于任意的n∈N*及x∈R,不等式kx2﹣6kx+k+7+3Tn>0恒成立,求实数k的取值范围.
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