【题目】在四棱锥中,底面
为平行四边形,
,
,
,
点在底面
内的射影
在线段
上,且
,
,
为
的中点,
在线段
上,且
.
(Ⅰ)当时,证明:平面
平面
;
(Ⅱ)当平面与平面
所成的二面角的正弦值为
时,求四棱锥
的体积.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)接,作
交
于点
,则四边形
为平行四边形,在
中由余弦定理得
,由勾股定理可得
,在
中,
,
分别是
,
的中点,结合中位线及平行的传递性可得
,故可得
平面
,由线面平行判定定理可得结论;(Ⅱ)以
为坐标原点,
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量与二面角平面角之间关系可得:
,由棱锥的体积公式可得结果.
试题解析:(Ⅰ)证明:连接,作
交
于点
,则四边形
为平行四边形,
,在
中,
,
,
,由余弦定理得
.
所以,从而有
.
在中,
,
分别是
,
的中点,
则,
,
因为,所以
.
由平面
,
平面
,
得,又
,
,
得平面
,又
平面
,
所以平面平面
.
(Ⅱ)以为坐标原点,
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
.
平面的一个法向量为
.
设平面的法向量为
,
由,
,得
令
,得
.
由题意可得,
,
解得,
所以四棱锥的体积
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn , 若4Sn=(2n﹣1)an+1+1,且a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设cn= ,数列{cn}的前n项和为Tn .
①求Tn;
②对于任意的n∈N*及x∈R,不等式kx2﹣6kx+k+7+3Tn>0恒成立,求实数k的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若函数f(x)= sin2x+2cos2x+m在区间[0,
]上的最大值为6,求常数m的值及此函数当x∈R时的最小值,并求相应的x的取值集合.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某单位有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中取一个容量为n的样本;如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,无须剔除个体;如果样本容量增加1个,则在采用系统抽样时需要在总体中先剔除一个个体,则n的值为 .
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