Question

【题目】若函数f（x）= sin2x+2cos2x+m在区间[0， ]上的最大值为6，求常数m的值及此函数当x∈R时的最小值，并求相应的x的取值集合．

Answer 1

【答案】解：f（x）= sin2x+2cos2x+m
= sin2x+1+cos2x+m
=2sin（2x+ ）+m+1，
∵x ，∴2x+ ∈[ ， ]，
sin（2x+ ）≤1，
所以函数f（x）的最大值为3+m，
∴3+m=6，m=3，
∴f（x）=2sin（2x+ ）+4，
当x∈R时，函数f（x）的最小值为2，
此时2x+ =﹣ ，
即x=﹣ +kπ（k∈Z）时取最小值．
【解析】先利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据x的范围求函数的最大值，然后让最大值等于6，求出m的值；当x∈R时，根据正弦函数求函数的最小值及取到最小值时的x的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二倍角的余弦公式的相关知识，掌握二倍角的余弦公式：，以及对三角函数的最值的理解，了解函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，．