Question

【题目】已知点在椭圆内，过的直线与椭圆相交于A，B两点，且点是线段AB的中点，O为坐标原点．

（Ⅰ）是否存在实数t，使直线和直线OP的倾斜角互补？若存在，求出的值，若不存在，试说明理由；

（Ⅱ）求面积S的最大值．

Answer 1

【答案】( Ⅰ)存在；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）设出直线方程为，代入椭圆方程得关于的一元二次方程，设，则可得，利用可建立的关系，即，上面的一元二次方程有两个不等实根，即判别式，由此可得的范围．注意特殊情形的讨论，最后由直线和直线的倾斜角互补，即斜率和为0可求得，若不能求出，说明不存在）；（Ⅱ）利用（Ⅰ）得直线方程为，关键是由表示出， ，这是的函数，可函数知识易求最值.

试题解析：

（Ⅰ）存在.

由题意直线的斜率必存在，设直线的方程

是

代入得：

.（1）

设，，则，即，

解得：，

此时方程（1）即

由解得，，

（或由解得，）

当时，显然不符合题意；

当时，设直线的斜率为，只需，

即，解得，均符合题意.

（Ⅱ）由（1）知的方程是，

所以，

，

因为，所以当时，.

点晴：解析几何中存在性问题的求解方法：

1．通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化，其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于特定参数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在，否则（点、直线、曲线或参数）不存在．

2．反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法．