Question

15．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），曲线C₂的方程为x²+（y-4）²=16在与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₁的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）与曲线C₁．C₂交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （I）利用cos²α+sin²α=1可把曲线C₁的参数方程化为普通方程：x²+（y-2）²=4，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得极坐标方程．
（II）把曲线C₂的方程x²+（y-4）²=16化为极坐标方程为：ρ=8sinθ，可得曲线θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）与曲线C₁交于A：ρ₁，与曲线C₂交于B点：ρ₂．利用|AB|=|ρ₂-ρ₁|即可得出．

解答 解：（I）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），消去参数α化为普通方程：x²+（y-2）²=4，
把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入可得极坐标方程：ρ=4sinθ．
（II）曲线C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ．
把曲线C₂的方程x²+（y-4）²=16化为极坐标方程为：ρ=8sinθ，
曲线θ=$\frac{π}{3}$（ρ＞0）与曲线C₁交于A：ρ₁=$4sin\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，
与曲线C₂交于B点：ρ₂=$8sin\frac{π}{3}$=4$\sqrt{3}$．
∴|AB|=|ρ₂-ρ₁|=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、曲线的交点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．