Question

20．定义2×2矩阵$|\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{a}_{2}}\\{{a}_{3}}&{{a}_{4}}\end{array}|$=a₁a₄-a₂a₃，若f（x）=$|\begin{array}{l}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}&{\sqrt{3}}\\{cos（\frac{π}{2}+2x）}&{1}\end{array}|$，则f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数g（x），则函数g（x）的解析式为（　　）

• A． 图象关于（π，0）中心对称
• B． 图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称
• C． g（x）是周期为π的奇函数
• D． 在区间[-$\frac{π}{6}$，0]上单调递增

Answer 1

分析 由二阶行列式展开式求出f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），从而由平移性质得g（x）=-2cos2x，由此能求出结果．

解答 解：∵f（x）=$|\begin{array}{l}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}&{\sqrt{3}}\\{cos（\frac{π}{2}+2x）}&{1}\end{array}|$
=cos²x-sin²x-$\sqrt{3}cos（\frac{π}{2}+2x）$
=cos2x+$\sqrt{3}sin2x$=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位得到函数g（x），
∴g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{2}$）=-2cos2x，
∴图象关于（π，0）中心对称为（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}$，0），k∈Z，故A错误；
图象关于直线x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z对称，故B正确；
g（x）是周期为π的偶函数，故C错误；
函数在区间[-$\frac{π}{6}$，0]上单调递减，故D错误．
故选：B．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，涉及到二阶行列式、三角函数性质、平移等知识的综合运用．