Question

8．已知F₁•F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点，其中F₂与抛物线y²=12x的焦点重合，M是两曲线的一个交点，且有cos∠MF₁F₂•cos∠MF₂F₁=$\frac{7}{23}$，求椭圆方程．

Answer 1

分析 先设出M的坐标，代入椭圆和抛物线方程消去y，求得M点横坐标，根据x=-3是y²=12x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F₁．设点P到抛物线y²=12x的准线的距离为MN，则可知|MF₂|=|MN|，根据抛物线定义可知|MN|=x₁+3，进而求得|MF₂|和|MF₁|，过点M作MM₁⊥x轴，垂足为M₁，分别在Rt△MM₁F₁中而后Rt△MM₁F₂中求得cos∠MF₁F₂，cos∠MF₂F₁，最后答案可得．

解答 解：抛物线y²=12x的焦点为（3，0），
即有c=3，a²-b²=9，
设M（x₁，y₁），
由$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}{b}^{2}}\\{{y}^{2}=12x}\end{array}\right.$得b²x²+12a²x-a²b²=0，
即为（a²-9）x²+12a²x-a²（a²-9）=0，
∴x₁=$\frac{a（a-3）}{a+3}$（负的舍去），
∵x=-3是y²=12x的准线，
设点M到抛物线y²=12x的准线的距离为MN，则|MF₂|=|MN|．
又|MN|=x₁+3=$\frac{{a}^{2}+9}{a+3}$，
∴|MF₂|=$\frac{{a}^{2}+9}{a+3}$，|MF₁|=2a-$\frac{{a}^{2}+9}{a+3}$=$\frac{{a}^{2}+6a-9}{a+3}$
过点M作MM₁⊥x轴，垂足为M₁，
在Rt△MM₁F₁中，cos∠MF₁F₂=$\frac{a（a-3）+3（a+3）}{{a}^{2}+6a-9}$=$\frac{{a}^{2}+9}{{a}^{2}+6a-9}$，
在Rt△MM₁F₂中，cos∠MF₂F₁=$\frac{6a+9-{a}^{2}}{{a}^{2}+9}$，
由cos∠MF₁F₂•cos∠MF₂F₁=$\frac{6a+9-{a}^{2}}{{a}^{2}+6a-9}$=$\frac{7}{23}$，
解得a=5（负的舍去），
可得b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=4，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

点评 本题主要考查了椭圆和抛物线的方程和性质，考查了椭圆和抛物线的定义的运用，考查运算能力，属于中档题．