Question

19．某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy．
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S=$\frac{2}{3}$lh）

Answer 1

分析 （1）设抛物线的方程为：y=-ax²（a＞0），利用待定系数法求出$a=\frac{3}{200}$，由此能求出隧道设计的拱宽．
（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，利用待定系数法求出$a=\frac{{h-\frac{9}{2}}}{100}$，从而20＜l≤40，S=$\frac{3{l}^{3}}{{l}^{2}-400}$，由此利用导数性质能求出当拱高为$\frac{27}{4}$米，拱宽为$20\sqrt{3}$米时，使得隧道口截面面积最小．

解答 解：（1）设抛物线的方程为：y=-ax²（a＞0），则抛物线过点$（10，-\frac{3}{2}）$，
代入抛物线方程解得：$a=\frac{3}{200}$，…（3分）
令y=-6，解得：x=±20，则隧道设计的拱宽l是40米．…（5分）
（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，抛物线过点（10，-（h-$\frac{9}{2}$）），
代入抛物线方程得：$a=\frac{{h-\frac{9}{2}}}{100}$
令y=-h，则$-\frac{{h-\frac{9}{2}}}{100}{x^2}=-h$，解得：${x}^{2}=\frac{100h}{h-\frac{9}{2}}$，
则${（\frac{l}{2}）^2}=\frac{100h}{{h-\frac{9}{2}}}$，$h=\frac{\frac{9}{2}{l}^{2}}{{l}^{2}-400}$，…（9分）
∵h≥6，∴$\frac{\frac{9}{2}{l}^{2}}{{l}^{2}-400}$≥6，即20＜l≤40，
∴$S=\frac{2}{3}lh=\frac{2}{3}l•\frac{{\frac{9}{2}{l^2}}}{{{l^2}-400}}=\frac{{3{l^3}}}{{{l^2}-400}}\;\;\;\;\;（20＜l≤40）$，…（12分）
∴$S'=\frac{{9{l^2}（{l^2}-400）-3{l^3}•2l}}{{{{（{l^2}-400）}^2}}}=\frac{{3{l^2}（{l^2}-1200）\;}}{{{{（{l^2}-400）}^2}}}\;=\frac{{3{l^2}（l+20\sqrt{3}）（l-20\sqrt{3}）\;}}{{{{（{l^2}-400）}^2}}}$，
当$20＜l＜20\sqrt{3}$时，S'＜0；当$20\sqrt{3}＜l≤40$时，S'＞0，
即S在$（20，20\sqrt{3}）$上单调减，在（20$\sqrt{3}$，40]上单调增，
∴S在$l=20\sqrt{3}$时取得最小值，此时$l=20\sqrt{3}$，$h=\frac{27}{4}$
答：当拱高为$\frac{27}{4}$米，拱宽为$20\sqrt{3}$米时，使得隧道口截面面积最小．  …（15分）

点评 本题考查函数在生产生活中的具体应用，是中档题，解题时要认真审题，注意二次函数性质的合理运用，解题时要合理运用导数性质．