Question

11．设a，b，c为正数，求证：2（$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$）≥$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{b+c}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{c+a}$+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a+b}$．

Answer 1

分析 运用作差比较法，结合分解因式和不等式的性质，即可得证．

解答 证明：由a，b，c为正数，
2（$\frac{{a}^{2}}{b+c}$+$\frac{{b}^{2}}{c+a}$+$\frac{{c}^{2}}{a+b}$）-$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{b+c}$-$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}}{c+a}$-$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a+b}$
=$\frac{（{a}^{2}-{b}^{2}）+（{a}^{2}-{c}^{2}）}{b+c}$+$\frac{（{b}^{2}-{c}^{2}）+（{b}^{2}-{a}^{2}）}{c+a}$+$\frac{（{c}^{2}-{a}^{2}）+（{c}^{2}-{b}^{2}）}{a+b}$
=（a²-b²）（$\frac{1}{b+c}$-$\frac{1}{c+a}$）+（b²-c²）（$\frac{1}{c+a}$-$\frac{1}{a+b}$）+（c²-a²）（$\frac{1}{a+b}$-$\frac{1}{b+c}$）
=$\frac{（a-b）^{2}（a+b）}{（b+c）（c+a）}$+$\frac{（b-c）^{2}（b+c）}{（a+b）（c+a）}$+$\frac{（c-a）^{2}（c+a）}{（a+b）（b+c）}$≥0，
当且仅当a=b=c时取得等号．
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差比较法，结合因式分解，考查化简整理的能力，属于中档题．