Question

1．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱AB和BC的中点．
（1）求二面角B-FB₁-E的大小，
（2）求点D到平面B₁EF的距离．

Answer 1

分析 （1）作BG⊥B₁F，根据三垂线定理得EG⊥B₁F，∠EGB是二面角B-FB₁-E的平面角，即可求出二面角B-FB₁-E的大小；
（2）等积转换${V_{D-EF{B_1}}}={V_{{B_1}-DEF}}$，求点D到平面B₁EF的距离．

解答 解：（1）作BG⊥B₁F，根据三垂线定理得EG⊥B₁F
∴∠EGB是二面角B-FB₁-E的平面角∴$BG=\frac{{{B_1}B•BF}}{{{B_1}F}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}a$
∴$tan∠EGB=\frac{EB}{BG}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}a∴∠EGB=arctan\frac{{\sqrt{5}}}{2}a$
（2）设点D到平面B₁EF的距离为h，等积转换${V_{D-EF{B_1}}}={V_{{B_1}-DEF}}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\sqrt{{a}^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{a}{2}×\frac{a}{2}×a$
∴h=a

点评 本题考查二面角B-FB₁-E的大小及点D到平面B₁EF的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．