Question

13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．
（1）证明：∠D=∠E；
（2）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形；
（3）若BC=1，且△ADE的外接圆半径为2，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，可证明∠D=∠E；
（2）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而得∠A=∠E，可证明△ADE为等边三角形；
（3）根据△ADE外接圆的半径求出高与边长，利用四边形ABCD是梯形，求出梯形的高h，即可计算梯形的面积．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D=∠CBE，
∵CB=CE，
∴∠E=∠CBE，
∴∠D=∠E；
（2）证明：设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，
∴O在直线MN上，
∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，
∴OM⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠A=∠CBE，
∵∠CBE=∠E，
∴∠A=∠E，
由（1）知，∠D=∠E，
∴△ADE为等边三角形；
（3）△ADE是等边三角形，且外接圆的半径为2，
∴△ADE的高为3，
且$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD=2，
∴AD=2$\sqrt{3}$；
又BC=1，BC∥AD，
∴四边形ABCD是梯形，设梯形的高为h，
则$\frac{3-h}{3}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}}$，
解得h=$\frac{3（2\sqrt{3}-1）}{2\sqrt{3}}$；
∴梯形ABCD的面积为
S=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$+1）×$\frac{3（2\sqrt{3}-1）}{2\sqrt{3}}$=$\frac{11\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了圆的内接四边形性质，也考查了三角形外接圆以及求面积的应用问题，是综合性题目．