Question

2．将3个半径为1的球和一个半径为$\sqrt{2}-1$的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}+2\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}+2\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{3}$

Answer 1

分析 设下层三个半径为1的球的球心构成边长为2的等边三角形，上面小球的球心和这个等边三角形构成侧棱长为$\sqrt{2}$的正三棱锥，上层小球的最高点到桌面的距离为小球半径、大球半径与正三棱锥的高相加之和．

解答 解：设下层三个半径为1的球的球心分别为B，C，D，上层较小的球的球心为A
则△BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=AD=$\sqrt{2}$，
过A作平面BCD的垂线AF，交平面BCD于点F，F是△ABC的重心，
则BF=$\frac{2}{3}BE$=$\frac{2}{3}\sqrt{4-1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
AF=$\sqrt{2-\frac{4}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴上层小球的最高点到桌面的距离是AF+1+$\sqrt{2}-1$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查上层小球最高点到频桌面距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．