Question

12．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．
（1）求证：点E为AB的中点；
（2）求EF的值．

Answer 1

分析 （1）推导出EA为圆D的切线，且EB是圆O的切线，由此利用切割线定理能证明AE=EB．
（2）在Rt△BCE中，由射影定理得BE²=EF•EC，即可得到要求的线段．

解答 （1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，
∴EA为圆D的切线
依据切割线定理得EA²=EF•EC…（2分）
∵圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，
同样依据切割线定理得EB²=EF•EC…（2分）
故AE=EB…（5分）
所以点E为AB的中点
（2）解：连结BF，∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC
又在Rt△BCE中，由射影定理得BE²=EF•EC
所以$EF=\frac{{B{E^2}}}{EC}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（10分）

点评 本题考查切割线定理，考查射影定理，是一个中档题目．