Question

14．如图，已知ABCD是边长为2的正方形，EA⊥平面ABCD，FC∥EA，设EA=1
（Ⅰ）证明：EF⊥BD；
（Ⅱ）求点C到平面BDE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，由BD⊥AC，EA⊥BD，能证明BD⊥EF．
（Ⅱ）设点C到平面BDE的距离为h，由V_E-BDC=V_C-BDE，能求出点C到平面BDE的距离．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又AE⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴EA⊥BD，
∵EA∩AC=A，∴BD⊥平面ACFE，
又EF?平面ACFE，∴BD⊥EF．
（Ⅱ）设点C到平面BDE的距离为h，
在△BDE中，BE=DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，
BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，
S_△DBC=$\frac{1}{2}×2×2$=2，S_△BDE=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{5-3}$=$\sqrt{6}$，
V_E-BDC=V_C-BDE，
∴$\frac{1}{3}{S}_{△BDC}×AE$=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}•h$，
∴h=$\frac{{S}_{△BDC}×AE}{{S}_{△BDE}}$=$\frac{2×1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴点C到平面BDE的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．