Question

6．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，PD=AD=1，PD⊥底面ABCD．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）求D到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出PD⊥BD，AD⊥BD，由此能证明BD⊥PA．
（2）由V_P-BDC=V_D-PBC，能求出D到平面PBC的距离．

解答 证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴PD⊥BD，
在△ABD中，BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos60°=1+4-2×$1×2×\frac{1}{2}$=3，
∴BD=$\sqrt{3}$，
又AD²+BD²=4=AB²，∴AD⊥BD，
又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD，
又PA?平面PAD，∴BD⊥PA．
解：（2）∵底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2，PD=AD=1，PD⊥底面ABCD，
∴BD=$\sqrt{4+1-2×2×1×cos60°}$=$\sqrt{3}$，∴BD²+BC²=DC²，
∴BD⊥BC，∴BC⊥PB，
PC=$\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{3+1}$=2，
∴${S}_{△BDC}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，${S}_{△PBC}=\frac{1}{2}×2×1=1$，
设D到平面PBC的距离为d，
∵V_P-BDC=V_D-PBC，
∴$\frac{1}{3}×{S}_{△BDC}×PD=\frac{1}{3}×{S}_{△PBC}×h$，
解得h=$\frac{{S}_{△BDC}×PD}{{S}_{△PBC}}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}×1}{1}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴D到平面PBC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．