Question

1．已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=60°，当△AOC和△BOC的面积之和最大时，则O到面ABC的距离为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{7}}}{7}$
• B． $\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$
• C． $\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
• D． $\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$

Answer 1

分析 设球O的半径为R，当∠AOC=∠BOC=90°时，△AOC和△BOC的面积之和最大，由此能求出O到面ABC的距离．

解答 解：设球O的半径为R，
∵S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}{R}^{2}$（sin∠AOC+sin∠BOC），-
∴当∠AOC=∠BOC=90°时，△AOC和△BOC的面积之和最大，
此时OA⊥OC，OB⊥OC，
∴OC⊥平面AOB，
∴V_O-ABC=V_C-OAB=$\frac{1}{3}OC×\frac{1}{2}OA•OBsin∠AOB$=$\frac{1}{6}{R}^{3}sin60°$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵AC=BC=$\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$，AB=2，∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
设O到面ABC的距离为h，则V_O-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
解得h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴O到面ABC的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
故选：D．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．