Question

9．已知$|{\begin{array}{l}{sinα}&{cosα}\\ 2&1\end{array}}|=0$，则sin2α=$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 由二阶行列式展开式得sinα-2cosα=0，由此利用同角三角函数关系式得到cosα=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，再由正弦函数二倍角公式能求出sin2α．

解答 解：∵$|{\begin{array}{l}{sinα}&{cosα}\\ 2&1\end{array}}|=0$，
∴sinα-2cosα=0，
∴sin²α+cos²α=5cos²α=1，
解得cosα=$±\frac{\sqrt{5}}{5}$，
当cosα=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，sinα=2cosα=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴sin2α=2sinαcosα=2×（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）×（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）=$\frac{4}{5}$，
当cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，sinα=2cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴sin2α=2sinαcosα=2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4}{5}$，
故sin2α=$\frac{4}{5}$．
故答案为：$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开式、同角三角函数关系式、二倍角公式的合理运用．