Question

20．如图四棱锥S-ABCD中，SD⊥AD，SD⊥CD，E是SC的中点，O是底面正方形ABCD的中心，AB=SD=6．
（1）求异面直线EO与BC所成的角．
（2）求点E到平面SAB距离．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EO与BC所成的角．
（2）求出平面SAB的法向量，利用向量法能求出点E到平面SAB距离．

解答 解：（1）∵四棱锥S-ABCD中，SD⊥AD，SD⊥CD，E是SC的中点，O是底面正方形ABCD的中心，
又AD∩CD=D，∴SD⊥平面ABCD，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AB=SD=6，∴S（0，0，6），C（0，6，0），E（0，3，3），O（3，3，0），B（6，6，0），
$\overrightarrow{EO}$=（3，0，-3），$\overrightarrow{BC}$=（-6，0，0），
设异面直线EO与BC所成的角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{EO}•\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{EO}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{18}{\sqrt{18}•6}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°．
∴异面直线EO与BC所成的角为45°．
（2）S（0，0，6），E（0，3，3），A（6，0，0），B（6，6，0），
$\overrightarrow{SA}$=（6，0，-6），$\overrightarrow{SB}$=（6，6，-6），$\overrightarrow{SE}$=（0，3，-3），
设平面SAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SA}=6x-6z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=6x+6y-6z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
∴点E到平面SAB距离d=$\frac{|\overrightarrow{SE}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．