Question

15．如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，已知AA₁=AC=2，AB=$\sqrt{2}$，O、O₁分别是上下底面ABCD和A₁B₁C₁D₁的对角线的交点，E是BC的中点．
（1）求证：C₁E∥平面ABO₁；
（2）求证：BD⊥平面ACO₁；
（3）求点A到平面BCO₁的距离．

Answer 1

分析 （1）设AB的中点为F，连结EF、FO₁，推导出四边形EFO₁C₁是平行四边形，由此能证明C₁E∥平面ABO₁．
（2）推导出四边形ABCD是正方形，从而BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面ACO₁．
（3）由${V}_{A-BC{D}_{1}}={V}_{{O}_{1}-ABC}$，利用等体积法能求出点A到平面BCO₁的距离．

解答 （本小题满分14分）
证明：（1）如图，设AB的中点为F，连结EF、FO₁．
∵O、O₁分别是上下底面ABCD和A₁B₁C₁D₁的对角线的交点，E是BC的中点，
∴EF∥AC，且EF=$\frac{1}{2}AC$．…（1分）
而C₁O₁=$\frac{1}{2}{A}_{1}{C}_{1}$，
又∵AC∥A₁C₁，且AC=A₁C₁，
∴EF∥C₁O₁，且EF=C₁O₁，∴四边形EFO₁C₁是平行四边形，
∴C₁E∥FO₁．…（3分）
又∵FO₁?平面ABO₁，C₁E?平面ABO₁，∴C₁E∥平面ABO₁．…（4分）
（2）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，且AA₁=AC=2，AB=$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$，∴四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．…（6分）
连结OO₁，∵O、O₁分别是上下底面ABCD和A₁B₁C₁D₁的对角线的交点，
∴OO₁⊥平面ABCD，从而有BD⊥OO₁．…（7分）
∵AC、OO₁?平面ACO₁，且AC∩OO₁=O，∴BD⊥平面ACO₁．…（8分）
解：（3）∵CO₁=$\sqrt{C{{C}_{1}}^{2}+{O}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{5}$，BO₁=$\sqrt{5}$，
∴△BCO₁是等腰三角形，连结EO₁，EO₁⊥BC，
且EO₁=$\sqrt{C{{O}_{1}}^{2}-（\frac{BC}{2}）^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．…（9分）
∴${S}_{△BC{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}BC•E{O}_{1}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$．…（10分）
设点A到平面BCO₁的距离为h，则三棱锥A-BCO₁的体积${V}_{A-BC{D}_{1}}$•h=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}h$=$\frac{h}{2}$．…（11分）
又三棱锥O₁-ABC的体积${V}_{{O}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•O{O}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$=$\frac{2}{3}$．…（12分）
∵${V}_{A-BC{D}_{1}}={V}_{{O}_{1}-ABC}$，即$\frac{h}{2}=\frac{2}{3}$，解得h=$\frac{4}{3}$，即点A到平面BCO₁的距离为$\frac{4}{3}$．…（14分）

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．