Question

5．已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，左顶点为A（-3，0），圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切．
（1）求椭圆方程；
（2）求圆O方程；
（3）B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程即可得到椭圆的方程；
（2）设圆O的方程为x²+y²=r²，由圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切，可设直线EF：x=r，代入椭圆方程，求得E的坐标，再由直线AE和圆相切的条件：d=r，解方程即可得到圆O的方程；
（3）设切线的方程为y=kx+$\frac{3}{2}$，由直线和圆相切的条件：d=r，求得k，代入椭圆方程，解方程可得M的坐标，N的坐标，求得直线MN的方程，求得O到直线MN的距离，即可判断MN和圆O的为位置关系．

解答 解：（1）由题意可得a=3，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得c=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
可得b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{4{y}^{2}}{9}$=1；
（2）设圆O的方程为x²+y²=r²，
由圆O与椭圆的内接三角形△AEF的三条边都相切，
可设直线EF：x=r，代入椭圆方程，解得E（r，$\frac{\sqrt{9-{r}^{2}}}{2}$），
可得直线AE：y=$\frac{\sqrt{9-{r}^{2}}}{2（r+3）}$（x+3），
由相切的条件，可得d=$\frac{3\sqrt{9-{r}^{2}}}{\sqrt{9-{r}^{2}+4（r+3）^{2}}}$=r，
化为（r-1）（r+3）²=0，解得r=1，
即有圆O：x²+y²=1；
（3）B（0，$\frac{3}{2}$），设切线的方程为y=kx+$\frac{3}{2}$，
由直线和圆相切的条件可得$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
由y=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x+$\frac{3}{2}$，代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{4{y}^{2}}{9}$=1，
解得x=-$\sqrt{5}$，y=-1．
可设M（-$\sqrt{5}$，-1）；
同理可得N（（$\sqrt{5}$，-1），
即有直线MN：y=-1．
显然圆心O到直线MN的距离为1，
则直线MN和圆O相切．

点评 本题考查椭圆的方程和圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线和圆相切的条件：d=r，注意运用点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．