Question

17．已知椭圆Γ的$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）过点（1，0）作两条直线l₁，l₂，其中l₁交椭圆Γ于A，B，l₂交椭圆Γ于C，D，若l₁⊥l₂，求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）分类讨论：当AB或CD中的一条与x轴垂直而另一条与x轴重合时，此时四边形ABCD面积S=2b²．当直线AC和BD的斜率都存在时，不妨设直线AC的方程为y=k（x-1），则直线BD的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-1）．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得|AB|，|CD|．利用四边形ABCD面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|，即可得到关于斜率k的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²-b²=c²，
$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1可得a²=4，b²=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1．
①当AB或CD中的一条与x轴垂直而另一条与x轴重合时，
此时四边形ACBD面积S=$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2b²=6．
②当直线AB和CD的斜率都存在时，不妨设直线AB的方程为y=k（x-1），
则直线CD的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，化为（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$
=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}]}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$．
把k换成-$\frac{1}{k}$，可得|CD|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$．
∴四边形ACBD面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•|CD|=$\frac{1}{2}$•$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$•$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{144（1+{k}^{2}）^{2}}{12{k}^{4}+25{k}^{2}+12}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{144}{-（\frac{1}{1+{k}^{2}}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{49}{4}}$，
当且仅当$\frac{1}{1+{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，即k²=1时，S取得最小值$\frac{288}{49}$．
综上可知：四边形ACBD的面积S的最小值是$\frac{288}{49}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、四边形面积计算公式、二次函数的最值求法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．