Question

7．如图，AB为圆柱的轴，CD为底面直径，E为底面圆周上一点，AB=1，CD=2，CE=DE．
求（1）三棱锥A-CDE的全面积；
（2）点D到平面ACE的距离．

Answer 1

分析 （1）先求出AD=$\sqrt{2}$，∠CED=90°，DE=CE=$\sqrt{2}$=AC=AD=AE，由此能求出三棱锥A-CDE的全面积．
（2）设点D到平面ACE的距离为h，由V_A-CDE=V_D-ACE，能求出点D到平面ACE的距离．

解答 解：（1）∵AB为圆柱的轴，CD为底面直径，E为底面圆周上一点，AB=1，CD=2，CE=DE，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，∠CED=90°，
∴DE=CE=$\sqrt{2}$=AC=AD=AE，
∴三棱锥A-CDE的全面积：
S=S_△CDE+S_△ACD+S_△ACE+S_△ADE
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2}×\sqrt{2}$+2×1+$\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$+$\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$）
=$2+\sqrt{3}$．
（2）设点D到平面ACE的距离为h，
由V_A-CDE=V_D-ACE，得$\frac{1}{3}{S}_{△CED}•AB$=$\frac{1}{3}{S}_{△ACE}•h$，
∴h=$\frac{{S}_{△CED}•AB}{{S}_{△ACE}}$=$\frac{\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×1}{\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查三棱锥的全面积的求法，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．