Question

19．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点P是CD上一点，且DP=1，过点A₁，C₁，P三点的平面交底面ABCD于PQ，点Q在直线BC上，则PQ=$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连结AC，过P作AC平行线，交AD于E，交BC延长线于Q，由此能求出PQ．

解答 解：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点P是CD上一点，且DP=1，
过点A₁，C₁，P三点的平面交底面ABCD于PQ，点Q在直线BC上，
连结AC，过P作AC平行线，交AD于E，交BC延长线于Q，
∵AC∥A₁C₁，∴EQ∥A₁C₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点P是CD上一点，且DP=1，
∴DE=PD=1，PC=2，
∵DE∥CQ，∴△PDE∽△PCQ，
∴$\frac{PD}{PC}=\frac{DE}{CQ}$，∴CQ=2，
∴PQ=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．