Question

9．已知点M是椭圆$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{{x}^{2}}{9}$=1上一点，F₁，F₂为椭圆的焦点，且△F₁MF₂的面积等于8，求点M的坐标．

Answer 1

分析 由题意求出椭圆的焦距，设出M的坐标，代入三角形面积公式求得M的横坐标，再把M的横坐标代入椭圆方程求得M的纵坐标得答案．

解答 解：依题意：a=5，b=3，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{25-9}=4$，则|F₁F₂|=2c=8，
设点M的坐标为（x，y），
∴${S}_{△{F}_{1}M{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|x||{F}_{1}{F}_{2}|$=$\frac{1}{2}•8|x|=8$，
∴x=±2，将x=±2代入椭圆方程得，
$\frac{{y}^{2}}{25}+\frac{4}{9}=1$，∴y=±$\frac{5\sqrt{5}}{3}$．
∴M的坐标为：（-2，$-\frac{5\sqrt{5}}{3}$），（-2，$\frac{5\sqrt{5}}{3}$），（2，-$\frac{5\sqrt{5}}{3}$），（2，$\frac{5\sqrt{5}}{3}$）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了焦点三角形中的面积问题，是中档题．