Question

1．已知命题p：关于x的方程x²-ax+a+3=0有实数根，命题q：m-1≤a≤m+1．
（Ⅰ） 若￢p是真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据命题的否定是真命题，进行转化求解即可．
（Ⅱ）根据充分条件和必要条件的定义和关系建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：法一：（Ⅰ） 当命题p是真命题时，满足△≥0
则a²-4（a+3）≥0，
解得 a≤-2或a≥6； …（3分）
∵￢p是真命题，则p是假命题
即-2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是（-2，6）．…（5分）
（Ⅱ）∵p是q的必要非充分条件，
则[m-1，m+1]?（-∞，-2]∪[6，+∞，
即m+1≤-2或m-1≥6，…（8分）
解得 m≤-3或m≥7，
∴实数m的取值范围是（-∞，-3]∪[7，+∞）．…（10分）
法二：（Ⅰ） 命题?p：关于x的方程x²-ax+a+3=0没有实数根
∵￢p是真命题，则满足△＜0
即 a²-4（a+3）＜0…（3分）
解得-2＜a＜6
∴实数a的取值范围是（-2，6）．…（5分）
（Ⅱ） 由 （Ⅰ）可得 当命题p是真命题时，
实数a的取值范围是（-∞，-2]∪[6，+∞，
∵p是q的必要非充分条件，
则[m-1，m+1]是（-∞，-2]∪[6，+∞）的真子集
即   m+1≤-2或m-1≥6…（8分）
解得 m≤-3或m≥7，
∴实数m的取值范围是（-∞，-3]∪[7，+∞）．…（10分）

点评 本题主要考查复合命题之间的关系以及充分条件和必要条件的应用，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．