Question

10．已知$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，sinx），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）写出函数f（x）的周期，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[π，$\frac{3π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积的运算以及二倍角公式和两角和差的正弦公式化简得到f（x），根据周期和函数的单调性的定义即可求出，
（2）根据函数的单调性即可求出f（x）在区间[π，$\frac{3π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，sinx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$•$\frac{1}{2}$（1-cos2x）+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴函数的周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）解得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，（k∈Z）；
（2）由（1）知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
当x∈[π，$\frac{3π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{5π}{3}$，$\frac{8π}{3}$]，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，
故f（x）在区间[π，$\frac{3π}{2}$]上的最大值和最小值分别为1和-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的运算，三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，属于中档题．