Question

20．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），AB为过椭圆E中心的弦，则△AFB的面积最大值是bc；若点F关于直y=$\frac{b}{c}$x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 △ABF面积等于△AOF和△BOF的面积之和，△AOF和△BOF的面积相等，A到x轴的距离h应最大，又h的最大值为b，从而得到△ABF面积的最大值；设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．

解答 解：△ABF面积等于△AOF和△BOF的面积之和，
设A到x轴的距离为h，由AB为过椭圆中心的弦，
则B到x轴的距离也为h，
可得△AOF和△BOF的面积相等，
故△ABF面积等于$\frac{1}{2}$c•2h=ch，又h的最大值为b，
则有△ABF面积的最大值是bc；
设Q（m，n），由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m-c}=-\frac{c}{b}}\\{\frac{1}{2}n=\frac{b}{c}•\frac{m+c}{2}}\end{array}\right.$，
可得：m=$\frac{{c}^{3}-c{b}^{2}}{{a}^{2}}$，n=$\frac{2b{c}^{2}}{{a}^{2}}$，
代入椭圆方程可得：$\frac{（\frac{{c}^{3}-c{b}^{2}}{{a}^{2}}）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{2b{c}^{2}}{{a}^{2}}）^{2}}{{b}^{2}}$=1，
解得e²（4e⁴-4e²+1）+4e²=1，
可得4e⁶+e²-1=0．
即4e⁶-2e⁴+2e⁴-e²+2e²-1=0，
可得（2e²-1）（2e⁴+e²+1）=0
解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：bc，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和简单性质的应用，用分割法求△ABF的面积，利用△AOF和△BOF是同底等高的两个三角形和运用对称知识是解题的关键．