Question

10．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠A=60°，PC⊥平面ABCD，PC=a，E为PA的中点，
（1）求证：PC∥平面EBD．
（2）求E到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）由底面ABCD是菱形，可得OA=OC，利用三角形的中位线定理可得OE∥PC，再利用线面平行的判定定理即可证明PC∥平面EBD．
（2）在底面作OH⊥BC，垂足为H，根据OE∥平面PBC可知点E到平面PBC的距离就是点O到平面PBC的距离OH，求出OH即可求出点E到平面PBC的距离．

解答 （1）证明：∵底面ABCD是菱形，
∴OA=OC，
又∵E为PA的中点，∴EO∥PC，
而PC?平面BED，EO?平面BED，
∴PC∥平面EBD．
（2）解：在底面作OH⊥BC，垂足为H，
因为平面PCB⊥平面ABCD，
所以OH⊥平面PCB，
又因为OE∥PC，
所以OE∥平面PBC，
所以点E到平面PBC的距离就是点O到平面PBC的距离OH，解得OH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a．

点评 本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面垂直与面面垂直的判定性质定理，考查了了推理能力与计算能力，属于中档题．