Question

2．已知点E是正方形ABCD的边AD上一动点（端点除外），现将△ABE沿BE所在直线翻折成△A′BE，并连结A′C，A′D．记二面角A′-BE-C的大小为α（0＜α＜π）．则（　　）

• A． 存在α，使得BA′⊥面A′DE
• B． 存在α，使得BA′⊥面A′CD
• C． 存在α，使得EA′⊥面A′CD
• D． 存在α，使得EA′⊥面A′BC

Answer 1

分析 Rt△ABE绕BE旋转的几何体是两个圆锥的组合体，能推导出某个位置存在母线A′E⊥AE，即A′E⊥BC，从而得到存在α，使得EA′⊥面A′BC．

解答 解：作AF⊥BE于F，交DC于G，则当折叠时，A′的投影在FG上
设正方形的边长为1，则A′B=1，BD=$\sqrt{2}$，
∵A′E+ED=1＞A′D，
∴∠BA′D≠90°，故A和B错误；
∵二面角A′-BE-C的大小为α（0＜α＜π），不存在母线EA′⊥A′C，
∴不可能存在α，使得EA′⊥面A′CD，故C错误；
Rt△ABE绕BE旋转的几何体是两个圆锥的组合体，
∵∠A′BE＜45°，45°＜∠A′EB＜90°，
∴某个位置存在母线A′E⊥AE，即A′E⊥BC，
∵二面角A′-BE-C的大小为α（0＜α＜π），
∴存在α，使得EA′⊥面A′BC，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．